Massimi e minimi

Miglior broker di opzioni binarie 2020:
  • Binarium
    Binarium

    Il miglior broker di opzioni binarie!
    Allenamento gratuito!
    Ideale per i principianti!
    Ottieni il tuo bonus di iscrizione!

Esercizi massimi e minimi di funzioni

Nei seguenti esercizi sui massimi e minimi delle funzioni ГЁ richiesto di determinare i punti estremanti di alcune funzioni effettuando lo studio della derivata prima, e di specificare se sono relativi o assoluti.

Le lezioni cui fare riferimento sono le seguenti:

Il primo esercizio ГЁ svolto; in fondo potete consultare le soluzioni e accedere alle schede di esercizi risolti. ;)

Esercizio guidato sui massimi e minimi di funzioni con le derivate

0)

Svolgimento : per non fare errori clamorosi, ricordiamoci che prima di tutto va calcolato il dominio della funzione. Qui abbiamo un denominatore, quindi richiediamo che sia diverso da zero:

Dunque il dominio ГЁ .

Calcoliamo la derivata prima:

che ha soluzioni x=В±1. Questi sono i candidati punti di massimo/minimo. Ora studiamo il segno della derivata prima, dunque risolviamo la disequazione

e studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore, troviamo che

Concludiamo così che x=-1 è un punto di massimo e x=+1 è un punto di minimo. Per vedere se sono anche assoluti , osserviamo che agli estremi del dominio di f abbiamo che

Miglior broker di opzioni binarie 2020:
  • Binarium
    Binarium

    Il miglior broker di opzioni binarie!
    Allenamento gratuito!
    Ideale per i principianti!
    Ottieni il tuo bonus di iscrizione!

quindi non possono essere assoluti.

Esercizi su massimi e minimi con le derivate

I)

II)

III)

IV)

V)

VI)

VII)

VIII)

IX)

X)

Soluzioni

I) punto di minimo assoluto; non ci sono massimi.

II) Nessun massimo, nessun minimo.

III) punto di minimo assoluto; non ci sono massimi.

IV) punto di massimo relativo; non ci sono minimi.

V) punto di minimo relativo; punto di massimo relativo.

VI) Nessun massimo; punto di minimo assoluto in .

VII) Non ci sono minimi, per la funzione ГЁ costantemente uguale a zero.

VIII) Punto di minimo assoluto per (senza inversione di monotonia); non ci sono massimi.

IX) punto di minimo assoluto; non ci sono massimi.

X) La funzione ha massimi nei punti della forma per ogni k intero naturale; ha minimi nei punti del tipo per ogni k intero naturale.

Lo sapevate che c’ГЁ anche una scheda di esercizi risolti sui massimi e minimi con le derivate? Per il resto sappiate che abbiamo risolto migliaia e migliaia di problemi qui su YM e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Fulvio Sbranchella (Agente О©)

Tags: esercizi sui massimi e minimi di funzioni con il metodo delle derivate e lo studio della derivata prima, con le soluzioni, la teoria necessaria per la risoluzione degli esercizi e un esempio svolto.

Massimi e minimi relativi e assoluti

I massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione sono rispettivamente i massimi ed i minimi valori che una funzione realizza localmente o globalmente; le corrispondenti ascisse vengono dette punti di massimo e di minimo (relativi o assoluti).

Questo articolo ГЁ il punto di partenza per lo studio di massimi e minimi e della monotonia (crescita e decrescita) di una funzione, e viene trattato nel dettaglio qui e negli articoli successivi.

In questa lezione proporremo le definizioni preliminari su massimi e minimi relativi e assoluti , che verranno poi riprese nel seguito. Tenete conto che lo studio dei massimi e dei minimi costituisce il cuore della teoria delle derivate e trova la sua principale applicazione nel contesto dello studio di funzione.

Cosa sono i massimi e i minimi di una funzione

Le derivate in Analisi Matematica hanno come principale utilizzo lo studio di alcuni aspetti qualitativi che caratterizzano una funzione reale di variabile reale

Sapendo calcolare le derivate siamo in grado di:

– trovare tutti i massimi e i minimi, sia relativi che assoluti, di una funzione derivabile;

– stabilire in quali intervalli del dominio la funzione cresce o decresce.

Per farlo perГІ dobbiamo prima conoscere le definizioni rigorose di massimo e minimo relativo e assoluto.

Definizione (massimo assoluto di una funzione)

Sia una funzione con dominio . Diciamo che ГЁ un punto di massimo assoluto per la funzione, e che ГЁ il massimo assoluto della funzione, se per ogni risulta che .

Nota bene: nella definizione x0 ГЁ un punto di massimo, f(x0) il valore massimo assoluto. Ad uno o piГ№ punti di massimo assoluto corrisponde il massimo valore assoluto.

Definizione (minimo assoluto di una funzione)

Sia una funzione con dominio . Diciamo che ГЁ un punto di minimo assoluto per la funzione, e che ГЁ il minimo assoluto della funzione, se per ogni risulta che .

Anche qui, vale un nota bene analogo al precedente.

In parole povere un punto di massimo assoluto ГЁ un’ascissa che realizza, mediante la funzione, il piГ№ grande tra tutti i valori assunti da f. La condizione di massimo assoluto ГЁ espressa dal fatto che

Analogamente diciamo che x0 ГЁ un punto di minimo assoluto per la funzione se

Introduciamo le definizioni, meno restrittive delle precedenti, di massimo e minimo relativo .

Definizione (massimo relativo di una funzione)

Sia una funzione con dominio . Diciamo che ГЁ un punto di massimo relativo per la funzione se esiste almeno un intorno di raggio e centro tale che per ogni appartenente a risulta che .

Definizione (minimo relativo di una funzione)

Sia una funzione con dominio . Diciamo che ГЁ un punto di minimo relativo per la funzione se esiste almeno un intorno di raggio e centro tale che per ogni appartenente a risulta che .

In altri termini un punto ГЁ di massimo relativo se esiste un intorno di tale punto in cui il valore assunto dalla funzione nel punto ГЁ il massimo valore tra quelli assunti dalla funzione nei punti dell’intorno. In modo analogo per i punti di minimo relativo.

Ok, potrebbe sembrare uno scioglilingua, quindi vediamo di esprimerci piГ№ sinteticamente: un punto di massimo o minimo ГЁ relativo se determina localmente il piГ№ grande o il piГ№ piccolo valore di ordinata delle funzione .

Tutto questo sembra complicato, ma non lo ГЁ. Guardando la figura che segue sarГ tutto piГ№ chiaro!

I punti evidenziati in nero da sinistra a destra sull’asse delle ascisse sono rispettivamente: un punto di massimo relativo, un punto di minimo relativo, un punto di massimo assoluto, un punto di minimo assoluto.

Le corrispondenti ordinate sono rispettivamente: un massimo relativo, un minimo relativo, un massimo assoluto ed un minimo assoluto.

Relazione tra massimi e minimi relativi e assoluti

Osserviamo che un massimo (o un minimo) assoluto di una funzione ГЁ anche un massimo (o un minimo) relativo; al contrario un massimo (o un minimo) relativo non ГЁ necessariamente un massimo (o un minimo) assoluto.

La traduzione di quest’ultima frase in matematichese ГЁ: relativo ГЁ condizione necessaria ma non sufficiente per assoluto; assoluto ГЁ condizione sufficiente ma non necessaria per relativo.

Caratterizzazione per massimi e minimi nel caso di funzioni continue

I punti di massimo e minimo, che siano assoluti o relativi, vengono detti punti estremanti della funzione. Se vogliamo darne una caratterizzazione dal punto di vista pratico, consideriamo una funzione definita e continua in e nell’intorno di .

Possiamo affermare che

– affinchГ© x0 sia un punto di massimo per la funzione f, ГЁ necessario che la funzione f(x) sia crescente a sinistra di x0 e decrescente a destra.

PiГ№ precisamente: se esistono due intorni sinistro e destro di x0, B – (x0,Оґ – ) e B + (x0,Оґ + ), tali per cui f(x) ГЁ monotona crescente o non decrescente in B – (x0,Оґ – ) ed ГЁ monotona decrescente o non crescente B + (x0,Оґ + ) allora x0 ГЁ punto di massimo relativo.

– AffinchГ© x0 sia un punto di minimo per la funzione f, ГЁ necessario che la funzione f(x) sia decrescente a sinistra di x0 e crescente a destra.

PiГ№ precisamente: se esistono due intorni sinistro e destro di x0, B – (x0,Оґ – ) e B + (x0,Оґ + ), tali per cui f(x) ГЁ monotona decrescente o non crescente in B – (x0,Оґ – ) ed ГЁ monotona crescente o non decrescente B + (x0,Оґ + ) allora x0 ГЁ un punto di minimo relativo.

Nota bene

Naturalmente la precedente caratterizzazione di punti di massimo e di minimo vale per le funzioni continue; le definizioni di punto di massimo e di minimo che abbiamo fornito ad inizio lezione, invece, si possono applicare a tutte le tipologie di funzioni.

Per il momento niente esercizi correlati, ci serve ancora un po’ di teoria. Nella lezione successiva vedremo un teorema fondamentale per lo studio dei punti di massimo e minimo delle funzioni reali di variabile reale: il teorema di Fermat. Un teorema semplice, ma molto molto importante. ;)

వీడ్కోలు, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente О©)

Tags: max e min di funzioni – definizioni di punti di massimo e minimo – definizioni di massimi e minimi relativi e assoluti.

Massimi e minimi relativi e assoluti

I massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione sono rispettivamente i massimi ed i minimi valori che una funzione realizza localmente o globalmente; le corrispondenti ascisse vengono dette punti di massimo e di minimo (relativi o assoluti).

Questo articolo ГЁ il punto di partenza per lo studio di massimi e minimi e della monotonia (crescita e decrescita) di una funzione, e viene trattato nel dettaglio qui e negli articoli successivi.

In questa lezione proporremo le definizioni preliminari su massimi e minimi relativi e assoluti , che verranno poi riprese nel seguito. Tenete conto che lo studio dei massimi e dei minimi costituisce il cuore della teoria delle derivate e trova la sua principale applicazione nel contesto dello studio di funzione.

Cosa sono i massimi e i minimi di una funzione

Le derivate in Analisi Matematica hanno come principale utilizzo lo studio di alcuni aspetti qualitativi che caratterizzano una funzione reale di variabile reale

Sapendo calcolare le derivate siamo in grado di:

– trovare tutti i massimi e i minimi, sia relativi che assoluti, di una funzione derivabile;

– stabilire in quali intervalli del dominio la funzione cresce o decresce.

Per farlo perГІ dobbiamo prima conoscere le definizioni rigorose di massimo e minimo relativo e assoluto.

Definizione (massimo assoluto di una funzione)

Sia una funzione con dominio . Diciamo che ГЁ un punto di massimo assoluto per la funzione, e che ГЁ il massimo assoluto della funzione, se per ogni risulta che .

Nota bene: nella definizione x0 ГЁ un punto di massimo, f(x0) il valore massimo assoluto. Ad uno o piГ№ punti di massimo assoluto corrisponde il massimo valore assoluto.

Definizione (minimo assoluto di una funzione)

Sia una funzione con dominio . Diciamo che ГЁ un punto di minimo assoluto per la funzione, e che ГЁ il minimo assoluto della funzione, se per ogni risulta che .

Anche qui, vale un nota bene analogo al precedente.

In parole povere un punto di massimo assoluto ГЁ un’ascissa che realizza, mediante la funzione, il piГ№ grande tra tutti i valori assunti da f. La condizione di massimo assoluto ГЁ espressa dal fatto che

Analogamente diciamo che x0 ГЁ un punto di minimo assoluto per la funzione se

Introduciamo le definizioni, meno restrittive delle precedenti, di massimo e minimo relativo .

Definizione (massimo relativo di una funzione)

Sia una funzione con dominio . Diciamo che ГЁ un punto di massimo relativo per la funzione se esiste almeno un intorno di raggio e centro tale che per ogni appartenente a risulta che .

Definizione (minimo relativo di una funzione)

Sia una funzione con dominio . Diciamo che ГЁ un punto di minimo relativo per la funzione se esiste almeno un intorno di raggio e centro tale che per ogni appartenente a risulta che .

In altri termini un punto ГЁ di massimo relativo se esiste un intorno di tale punto in cui il valore assunto dalla funzione nel punto ГЁ il massimo valore tra quelli assunti dalla funzione nei punti dell’intorno. In modo analogo per i punti di minimo relativo.

Ok, potrebbe sembrare uno scioglilingua, quindi vediamo di esprimerci piГ№ sinteticamente: un punto di massimo o minimo ГЁ relativo se determina localmente il piГ№ grande o il piГ№ piccolo valore di ordinata delle funzione .

Tutto questo sembra complicato, ma non lo ГЁ. Guardando la figura che segue sarГ tutto piГ№ chiaro!

I punti evidenziati in nero da sinistra a destra sull’asse delle ascisse sono rispettivamente: un punto di massimo relativo, un punto di minimo relativo, un punto di massimo assoluto, un punto di minimo assoluto.

Le corrispondenti ordinate sono rispettivamente: un massimo relativo, un minimo relativo, un massimo assoluto ed un minimo assoluto.

Relazione tra massimi e minimi relativi e assoluti

Osserviamo che un massimo (o un minimo) assoluto di una funzione ГЁ anche un massimo (o un minimo) relativo; al contrario un massimo (o un minimo) relativo non ГЁ necessariamente un massimo (o un minimo) assoluto.

La traduzione di quest’ultima frase in matematichese ГЁ: relativo ГЁ condizione necessaria ma non sufficiente per assoluto; assoluto ГЁ condizione sufficiente ma non necessaria per relativo.

Caratterizzazione per massimi e minimi nel caso di funzioni continue

I punti di massimo e minimo, che siano assoluti o relativi, vengono detti punti estremanti della funzione. Se vogliamo darne una caratterizzazione dal punto di vista pratico, consideriamo una funzione definita e continua in e nell’intorno di .

Possiamo affermare che

– affinchГ© x0 sia un punto di massimo per la funzione f, ГЁ necessario che la funzione f(x) sia crescente a sinistra di x0 e decrescente a destra.

PiГ№ precisamente: se esistono due intorni sinistro e destro di x0, B – (x0,Оґ – ) e B + (x0,Оґ + ), tali per cui f(x) ГЁ monotona crescente o non decrescente in B – (x0,Оґ – ) ed ГЁ monotona decrescente o non crescente B + (x0,Оґ + ) allora x0 ГЁ punto di massimo relativo.

– AffinchГ© x0 sia un punto di minimo per la funzione f, ГЁ necessario che la funzione f(x) sia decrescente a sinistra di x0 e crescente a destra.

PiГ№ precisamente: se esistono due intorni sinistro e destro di x0, B – (x0,Оґ – ) e B + (x0,Оґ + ), tali per cui f(x) ГЁ monotona decrescente o non crescente in B – (x0,Оґ – ) ed ГЁ monotona crescente o non decrescente B + (x0,Оґ + ) allora x0 ГЁ un punto di minimo relativo.

Nota bene

Naturalmente la precedente caratterizzazione di punti di massimo e di minimo vale per le funzioni continue; le definizioni di punto di massimo e di minimo che abbiamo fornito ad inizio lezione, invece, si possono applicare a tutte le tipologie di funzioni.

Per il momento niente esercizi correlati, ci serve ancora un po’ di teoria. Nella lezione successiva vedremo un teorema fondamentale per lo studio dei punti di massimo e minimo delle funzioni reali di variabile reale: il teorema di Fermat. Un teorema semplice, ma molto molto importante. ;)

వీడ్కోలు, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente О©)

Tags: max e min di funzioni – definizioni di punti di massimo e minimo – definizioni di massimi e minimi relativi e assoluti.

Miglior broker di opzioni binarie 2020:
  • Binarium
    Binarium

    Il miglior broker di opzioni binarie!
    Allenamento gratuito!
    Ideale per i principianti!
    Ottieni il tuo bonus di iscrizione!

Like this post? Please share to your friends:
Come scegliere un broker di opzioni binarie
Lascia un commento

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: